TRANSFORMASI LINEAR-TUGAS4-ALIN

TRANSFORMASI LINEAR

Secara umum transformasi (pemetaan) didefinisikan dari suatu himpunan ke himpunan lain. Pada bab ini kita akan mempelajari transformasi dari suatu ruang vektor ke ruang vektor yang lain, sehingga operasi standar pada ruang vektor (penjumlahan dan perkalian dengan skalar) tetap berlaku. Dengan
kata lain, transformasi ini dapat dipandang sebagai fungsi bernilai vektor yang berasal dari peubah yang vektor juga. Jadi, domain dan kodomain fungsi ini adalah berupa vektor. Misalkan V dan W merupakan ruang vektor dan T menkaitkan vektor unik di W dengan setiap vektor di V maka dapat kita katakan bahwa T memetakan V ke W. Selanjutnya, T dinamakan Transformasi dari V ke W. Kita akan memfokuskan pada T yang bersifat linear, sehingga T dinamakan transformasi linear.

TRANSFORMASI LINEAR

Dalam bagian ini kita mulai mempelajari fungsi bernilai vektor dari sebuah peubah vektor. Yakni, fungsi yang berbentuk w = F(v), dimana baik peubahbebas v maupun peubah tak-bebas w adalah vektor. Kita akan memusatkan perhatian pada kelompok khusus fungsi vektor yang kita namakan transformasi linear. Kelompok fungsi ini mempunyai banyak penerapan penting dalam fisika, bidang teknik, ilmu sosial, dan berbagai cabang matematika.

Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan vektor unik di W dengan setiap vektor terletak di V, maka kita katakana Fmemetakan V ke dalam W, dan kita tuliskan F:VàW. lebih lanjut lagi, jika F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita tuliskan w = F(v) dan kita katakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F. ruang vektor V dinamakan domainF.

Untuk melukiskannya, jika v = (x,y) adalah sebuah vektor di R², maka rumusnya

Mendefenisikan sebuah fungsi yang memetakan R² ke dalam R³. Khususnya jika v = (1,1), maka x = 1 dan y = 1, sehingga bayangan dari v di bawah F adalah F(v) = (1,2,0) dengan demikian , domain F adalah R².

Defenisi, jika F:V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F kita namakan transformasi linear ( linear transformasi) jika

(i) F(u + v) = F (u) + F (v) untuk semua vektor u dan v di V.

(ii )F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.

Untuk melukiskannya, misalnya F:R²àR³ adalah fungsi yang didefinisikan oleh pers. 1, , sehingga

Demikian juga, jika k adalah sebuah skalar, ku = (kx₁, ky₁), sehingga

Jadi, F adalah sebuah transformasi linear.

Jika F:VàW adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v₁ dan v₂di V dan sebarang skalar k₁ dan k₂, kita peroleh

Demikian juga, jika v₁, v₂, ……,v_n adalah vektor-vektor di V dan k₁, k₂,…….k_n adalah skalar, maka

Kita sekarang memberikan contoh lebih lanjut mengenai transformasi linear.

Contoh 1

Misalkan A adalah sebuah matriks m x n tetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vektor di R^m dan Rⁿ, maka dapat kita defenisikan sebuah fungsi T :RⁿàR^mdengan :

T(x) = Ax

Perhatikan bahwa jika x adalah sebuah matriks n x 1, maka hasil kali Ax adalah matriks m x 1 ; jadi T memetakan Rⁿ ke dalam R^m^.lagi pula, T linear, untuk melihat ini, misalkan u dan v adalah matriks n x 1 dan misalkan k adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalian matriks, maka kita dapatkan

Atau secara ekivalen

Kita menamakan transformasi linear pada contoh ini perkalian oleh A. Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks.

Contoh 2

Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumnya, misalnya adalah sebuah sudut tetap, dan misalnya T : 2ⁿàR² adalah perkalian oleh matriks

Jika v adalah vektor

Maka

Secara geometris, maka adalah vektor yang dihasilkan jika v dirotasikann melalui sudut .

2. SIFAT TRANSFORMASI LINEAR : KERNEL DAN JANGKAUAN

Pada bagian ini kita mengembangkan beberapa sifat dasar transformasi linear. Khususnya, kita memperlihatkan bahwa sekali bayangan vektor basis di bawah transformasi linear telah diketahui, maka kita mungkin mencari bayangan vektor yang selebihnya dalam ruang tersebut.

Teorema 1.Jika T:V W adalahtransformasi linier, maka :
(a) T(0) = 0
(b) T(-v) = -T(v) untuksemua v di V
(c) T(v-w) = T(v) – T(w) untuksemu v dan w di V.

Bukti, Misal v adalah sebarang vektor di V. Karena 0v = 0 maka kita peroleh
T(0) = T(0v) = 0T(v) = 0
Yang membuktikan (a).
Juga, T(-v) = T [(-1)v] = (-1)T(v) –T(v), yang membuktikan (b).
Akhirnya, v - w = v + (-1)w; jadi
T(v-w) = T(v + (-1)w)
= T(v) + (-1) T(w)
= T(v) – T(w)

Definisi.Jika T:V W adalahtransformasi linear, makahimpuanvektor di V yang dipetakan T kedalam 0 kitanamakankernel (ruangnol) dari T; himpuantersebutdinyatakanolehker (T). Himpunansemuavektor di W yang merupakanbayangan di bawah T dari paling sedikitatauvektor di V kitanamakanjangkauandari T; himpunan tersebut dinyatakanoleh R(T).

dikatakan linear jika memenuhi hal ini: